在椭圆4X方加9Y方=16上求一点P,使点P到直线X+2Y+36=0的最小距离

Question

在椭圆4X方加9Y方=16上求一点P,使点P到直线X+2Y+36=0的最小距离

Answer 1

廖淦092 有了基本解法,为什么不做完?
解法一．切线法：
设平行于直线X+2Y+36=0且与椭圆4X^2+9Y^2=16相切的直线方程为X+2Y+m=0,
将X=－(2Y+m)代入椭圆方程并整理得25Y^2+16mY+4m^2-16=0
△=256m^2-4×25(4m^2-16)=0
解得m=±10/3,切线方程为X+2Y±10/3=0,切点(-6/5,-16/15)或(6/5,16/15)
距离d1=|(36-10/3)/√5|=98√5/15,d2=|(36+10/3)/√5|=118√5/15
最小距离d=d1=98√5/15,P(-6/5,-16/15)
解法二：
设P(x,y),4X^2+9Y^2=16
距离d=|(x+2y+36)|/√5
√5d=x+2y+36＝n或√5d=-x-2y-36=n
x=n-2y-36或x=2y+36-n
代入4X^2+9Y^2=16
由△>=0……