已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的离心率为三分之根号三,以原点为圆心,椭圆短半袖长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A、B分别是椭圆的左右两个点,P为椭圆C上的动点,求椭圆的

Question

已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的离心率为三分之根号三,以原点为圆心,椭圆短半袖长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A、B分别是椭圆的左右两个点,P为椭圆C上的动点,求椭圆的标准方程
第二问，若P与A、B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为K1,K2,证明k1k2为定值

Answer 1

第一问：由圆x方+y方=b方且与直线x-y+2=0相切,可解得b=根号2,由离心率c/a=三分之根号三得a方=3乘以c方,又由公式c方=a方-b方得,c方=3乘以c方-2,所以c方=1,a方=3,a=根号3,所以椭圆方程为x方/3+y方/2=1,.
第二问：证明：由题知A(-√3,0),B=(√3,0),设P(X,Y),则K1=Y/X+√3,K2=Y/X-√3,所以K1K2=Y方/X方-3,又因P在椭圆上,所以X方/3+X方/2=1,所以Y方=2（1-X方/3）,带入得,K1K2=2（1-X方/3）/(X方-3)=2/3(3-X方)/(X方-3)=-2/3为定值