已知在椭圆E:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)中,以F1(-C,0)为圆心,a-c已知在椭圆E：x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1（a>b>0)中,以F1（-C，0）为圆心，a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作

Question

已知在椭圆E:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)中,以F1(-C,0)为圆心,a-c
已知在椭圆E：x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1（a>b>0)中,以F1（-C，0）为圆心，a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点分别为M，N两点，若过两个切点M，N两点的直线恰好经过点B1（0，-b）,则椭圆E的离心率为？

Answer 1

已知在椭圆E：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0)中,以F1(-c,0)为圆心,a-c为半径作圆F1,过点B2(0,b)作圆F1的两条切线,设切点分别为M,N两点,若过两个切点M,N两点的直线恰好经过点B1(0,-b),则椭圆E的离心率为?
圆F1：(x+c)²+y²=(a-c)² ①
过点B2所作圆F1的两条切线的切点分别为M,N两点,
于是M,N关于直线F1B2对称,且F1M⊥B2M,F1N⊥B2N,
所以F1、M、B2、N四点共圆,
且此圆直径为F1B2,圆心为F1B2中点Q(-c/2,b/2),
又F1B2=a,所以圆Q：(x+c/2)²+(y-b/2)²=(a/2)² ②
①-②得M,N两点坐标满足：
[(x+c)²-(x+c/2)²]+[y²-(y-b/2)²]=[(a-c)²-(a/2)²]
即 (c/2)(2x+3c/2)+(b/2)(2y-b/2)=(a/2-c)(3a/2-c)（一个直线方程）③
因为过两个切点M,N的直线恰好经过点B1(0,-b),
将B1的坐标代入③得：(c/2)(3c/2)+(b/2)(2(-b)-b/2)=(a/2-c)(3a/2-c)
因为椭圆中,b²=a²-c²,代入并整理得：c²+2ac-2a²=0
两边除以a²,又椭圆离心率e=c/a,于是：e²+2e-2=0
即 (e+1)²=3 ④
因为离心率 e＞0,所以 e+1=√3,e=√3-1.