给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.(2)点P是椭

Question

给定椭圆C: + =1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为 的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F( ,0),其短轴上的一个端点到F的距离为 .
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l ₁ ,l ₂ 使得l ₁ ,l ₂ 与椭圆C都只有一个交点,且l ₁ ,l ₂ 分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l ₁ ,l ₂ 的方程;
②求证:|MN|为定值.

Answer 1

给定椭圆C: + =1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为 的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F( ,0),其短轴上的一个端点到F的距离为 .
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l ₁ ,l ₂ 使得l ₁ ,l ₂ 与椭圆C都只有一个交点,且l ₁ ,l ₂ 分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l ₁ ,l ₂ 的方程;
②求证:|MN|为定值.

(1) +y ² =1   x ² +y ² =4
(2) ①y=x+2,y=-x+2  ②见解析

(1)∵c= ,a= ,∴b=1.
∴椭圆方程为 +y ² =1,
准圆方程为x ² +y ² =4.
(2)①因为准圆x ² +y ² =4与y轴正半轴的交点为P(0,2),
设过点P(0,2)且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,所以由 消去y,
得(1+3k ² )x ² +12kx+9=0.
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点,
所以Δ=144k ² -4×9(1+3k ² )=0,解得k=±1.
所以l ₁ ,l ₂ 的方程分别为y=x+2,y=-x+2.
②(ⅰ)当l ₁ ,l ₂ 中有一条无斜率时,不妨设l ₁ 无斜率,
因为l ₁ 与椭圆只有一个公共点,
则其方程为x=± .
当l ₁ 方程为x= 时,
此时l ₁ 与准圆交于点( ,1),( ,-1),
此时经过点( ,1)(或( ,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),
即l ₂ 为y=1(或y=-1),显然直线l ₁ ,l ₂ 垂直;
同理可证l ₁ 方程为x=- 时,直线l ₁ ,l ₂ 垂直.
(ⅱ)当l ₁ ,l ₂ 都有斜率时,设点P(x ₀ ,y ₀ ),
其中 + =4.
设经过点P(x ₀ ,y ₀ )与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x ₀ )+y ₀ ,
则 消去y,
得(1+3t ² )x ² +6t(y ₀ -tx ₀ )x+3(y ₀ -tx ₀ ) ² -3=0.
由Δ=0化简整理得:(3- )t ² +2x ₀ y ₀ t+1- =0.
因为 + =4,
所以有(3- )t ² +2x ₀ y ₀ t+( -3)=0.
设l ₁ ,l ₂ 的斜率分别为t ₁ ,t ₂ ,
因为l ₁ ,l ₂ 与椭圆只有一个公共点,
所以t ₁ ,t ₂ 满足上述方程(3- )t ² +2x ₀ y ₀ t+( -3)=0,
所以t ₁ ·t ₂ =-1,即l ₁ ,l ₂ 垂直.
综合(ⅰ)(ⅱ)知:因为l ₁ ,l ₂ 经过点P(x ₀ ,y ₀ ),
又分别交其准圆于点M,N,且l ₁ ,l ₂ 垂直,
所以线段MN为准圆x ² +y ² =4的直径,
所以|MN|=4.