（2009•眉山）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x

Question

（2009•眉山）如图，已知直线y=(1)/(2)x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=(1)/(2)x²+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标．

Answer 1

（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=(1)/(2)x²+bx+c
得

c＝1

(1)/(2)+b+c＝0

，
解得

b＝−(3)/(2)

c＝1

，
∴抛物线的解折式为y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x+1；（2分）

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为(1)/(2)m²-(3)/(2)m+1，
即E点的坐标（m，(1)/(2)m²-(3)/(2)m+1），
又∵点E在直线y=(1)/(2)x+1上，
∴(1)/(2)m²-(3)/(2)m+1=(1)/(2)m+1
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴E的坐标为（4，3）．（4分）
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP₁⊥DE交x轴于P₁点，设P₁（a，0）易知D点坐标为（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P₁OA得
(DO)/(OA)＝(OA)/(OP)即