设抛物线y2=4px的准线与x轴的交点为M,过点M作直线l交抛物线于A,B两点.（1）求线段AB中点的轨迹方程（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于N（x0,0）,求证x0＞3p

Question

设抛物线y2=4px的准线与x轴的交点为M,过点M作直线l交抛物线于A,B两点.（1）求线段AB中点的轨迹方程（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于N（x0,0）,求证x0＞3p

Answer 1

抛物线y²=4px的准线为x=-p
∴M(-p,0)
设直线l：x=ty-p
x=ty-p与y²=4px联立,消去x
得：y²=4pty-4p²
即 y²-4pty+4p²=0
Δ=16p²t²-16p²>0,t²>1
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点P(x,y)
则2y=y1+y2=4pt, y=2pt, |y|>2p
∴ t=y/(2p)
∴x=ty-p =y²/(2p)-p
∴y²=2px+2p²=2p(x+p)
∴线段AB中点的轨迹方程
y²=2p(x+p) ( |y|>2p)

（2）
由（1）知AB中点P(2pt,2pt²-p)
∴线段AB的垂直平分线方程为
x-2pt²+p=-1/t(y-2pt)
令y=0得：x0=p+2pt²
∵t²>1 ∴2pt²>2p
∴x0>3p