设f（x，y）=max{x，y}，D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算∬Df（x，y）|y-x2|dσ．

Question

设f（x，y）=max{x，y}，D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算

∬

D

f（x，y）|y-x²|dσ．

Answer 1

将区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}分成
D₁={（x，y）|0≤x≤y≤1}，D₂={（x，y）|0≤y≤x≤1}
∴

∬

D

f（x，y）|y-x²|dσ=

∬

D1

f（x，y）|y-x²|dσ+

∬

D2

f（x，y）|y-x²|dσ
=

∫∫

D1

y|y−x2|dxdy+

∫∫

D2

x|y−x2|dxdy
=

∫∫

D1

y(y−x2)dxdy+

∫∫

D2

x|y−x2|dxdy
但是D₂又可分为曲线y=x²上方及下方两块，于是
原式=

∫

1 0

dx

∫

1 x

y(y−x2)dy+

∫

1 0

dx

∫

x x2

x(y−x2)dy+

∫

1 0

dx

∫

x2 0

x(x2−y)dy＝(11)/(40)．