一道高数极限的问题1.设函数f（x）与g（x)在点x0出连续,证明函数h（x)=max{f(x);g(x)},t(x)=min{f(X);g(X)}在点x0处连续.

Question

一道高数极限的问题
1.设函数f（x）与g（x)在点x0出连续,证明函数h（x)=max{f(x);g(x)},t(x)=min{f(X);g(X)}在点x0处连续.

Answer 1

证法一：此题分两步证明.
（1）当f(x)≥g(x)时,h(x)=max{f(x);g(x)}=f(x),t(x)=min{f(x);g(x)}=g(x)
∵函数f(x)与g(x)在点x0处连续
∴根据连续定义知,lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x-x0)g(x)=g(x0)
∵lim(x-x0)h(x)=lim(x-x0)f(x)=f(x0)=h(x0)
lim(x-x0)t(x)=lim(x-x0)g(x)=g(x0)=t(x0)
∴根据连续定义知,函数h(x)与t(x)在点x0处连续；
（2）当f(x)＜g(x)时,h(x)=max{f(x);g(x)}=g(x),t(x)=min{f(x);g(x)}=f(x)
∵函数f(x)与g(x)在点x0处连续
∴根据连续定义知,lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x-x0)g(x)=g(x0)
∵lim(x-x0)h(x)=lim(x-x0)g(x)=g(x0)=h(x0)
lim(x-x0)t(x)=lim(x-x0)f(x)=f(x0)=t(x0)
∴根据连续定义知,函数h(x)与t(x)在点x0处连续；
故综合(1)与(2)的结论知,
当f(x)与g(x)在点x0处连续时,函数h(x)=max{f(x);g(x)},t(x)=min{f(x);g(x)}在点x0处也连续.证毕.
证法二：∵h(x)=max{f(x);g(x)}=1/2[f(x)+g(x)+│f(x)-g(x)│]
t(x)=min{f(x);g(x)}=1/2[f(x)+g(x)-│f(x)-g(x)│]
且f(x)与g(x)在点x0处连续,即lim(x->x0)f(x)=f(x0),lim(x->x0)g(x)=g(x0)
∴lim(x->x0)h(x)=lim(x->x0){1/2[f(x)+g(x)+│f(x)-g(x)│]}
=1/2[f(x0)+g(x0)+│f(x0)-g(x0)│]
=h(x0)
lim(x->x0)t(x)=lim(x->x0){1/2[f(x)+g(x)-│f(x)-g(x)│]}
=1/2[f(x0)+g(x0)-│f(x0)-g(x0)│]
=t(x0)
故根据连续定义知,函数f(x)与g(x)在点x0处连续.证毕.