（2014•松江区三模）若正项数列{an}满足条件：存在正整数k，使得an+kan=anan−k对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{an}为k级等比数列．（1）已知数列{an}为2级等比数列，且前四项分别为4，13，

Question

（2014•松江区三模）若正项数列{a_n}满足条件：存在正整数k，使得(an+k)/(an)=(an)/(an−k)对一切n∈N^*，n＞k都成立，则称数列{a_n}为k级等比数列．
（1）已知数列{a_n}为2级等比数列，且前四项分别为4，(1)/(3)，2，1，求a₈•a₉的值；
（2）若a_n=2ⁿsin（ωn+(π)/(6)）（ω为常数），且{a_n}是3级等比数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{a_n}的前3n项和S_3n；
（3）证明：{a_n}为等比数列的充要条件是{a_n}既为2级等比数列，{a_n}也为3级等比数列．

Answer 1

（1）由题意，a8＝a2((a4)/(a2))3＝(1)/(3)×33＝9…（2分）
a9＝a1((a3)/(a1))4＝4×(1)/(24)＝(1)/(4)，
∴a8•a9＝(9)/(4)…（4分）
（2）∵{a_n}是3级等比数列，
∴(an+3)/(an)＝(an)/(an−3)[2nsin(ωn+(π)/(6))]2=2n−3sin[(ωn+(π)/(6))−3ω]2n+3sin[(ωn+(π)/(6))+3ω]…（1分）
∴sin2(ωn+(π)/(6))=sin[(ωn+(π)/(6))−3ω]sin[(ωn+(π)/(6))+3ω]=sin2(ωn+(π)/(6))cos23ω−cos2(ωn+(π)/(6))sin23ω
=sin2(ωn+(π)/(6))cos23ω−cos2(ωn+(π)/(6))sin23ω=sin2(ωn+(π)/(6))-sin²3ω
∴sin²3ω=0，
∴3ω=kπ（k∈Z），∴ω＝

作业帮用户 2016-11-17 举报

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问题解析

（1）利用定义，求出a₈、a₉，即可求a₈•a₉的值；
（2）根据{a_n}是3级等比数列，列出方程，即可求ω所有可能值的集合，从而求ω取最小正值时数列{a_n}的前3n项和S_3n；
（3）根据数列{a_n}为k级等比数列的定义，分充分性与必要性进行证明即可．

名师点评

本题考点：

数列的应用．

考点点评：

本题考查数列的应用，考查新定义，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．

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