1+2+3+4+5+.+n=0.5n^2+n1^2+2^2+3^2.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6=n^3/3+n^2/2+n/61^3+2^3+3^3.+n^3=(n^2*(n+1)^2)/4=.一个关于N的四次多项式.1^k+2^k+3^k+4^k.+n^k=.是一个关于N的（K+1）次多项式=a*n^(k+1)+b*n^k+c*n^(k-1)+d*n^(k-2)+.求a,b,c,d与K

Question

1+2+3+4+5+.+n=0.5n^2+n
1^2+2^2+3^2.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6=n^3/3+n^2/2+n/6
1^3+2^3+3^3.+n^3=(n^2*(n+1)^2)/4=.一个关于N的四次多项式
.
1^k+2^k+3^k+4^k.+n^k=.是一个关于N的（K+1）次多项式
=a*n^(k+1)+b*n^k+c*n^(k-1)+d*n^(k-2)+.
求a,b,c,d与K的关系
请给出证明过程,不要找规律...
如果能把每一项的系数都求出来再加分!
hxjhzyf - 试用期 一级
这个方法我知道,(1+N)^N次方无法展开,
不能这样推

Answer 1

这个问题被称为高阶等差数列求和问题.
一般教科书上用以下解法,递推关系法：
例（n+1）^2=n^2+2n+1,（n+1）^2-n^2=2n+1
n从1到n,左右分别求和,
(n+1)^2-1=2*(1+2+3+……+n)+n
故：S(1)=1+2+3+……+n=[(n+1)^2-n+1]/2
又如：（n+1）^3=n^3+3*n^2+3*n+1,（n+1）^3-n^3=3*n^2+3*n+1
求和：
得：（n+1）^3-1=3*S(2)+3*S(1)+n
S(2)=……
同理,通过展开(n+1)^4可以求出S(3)的表达式,其中包含S(2),S(1)
一直推到k