关于数列的问题较难请高手指教...已知函数f(n)=log(n+1)(底数）(n+2)（真数）,n为正整数,若存在正整数k满足：f(1)*f(2)*...f(n)=k,我们将k叫做关于n的“对整数”,当n∈[1,100]时,则“对整数”的个数

Question

关于数列的问题 较难 请高手指教...
已知函数f(n)=log(n+1)(底数）(n+2)（真数）,n为正整数,若存在正整数k满足：f(1)*f(2)*...f(n)=k,我们将k叫做关于n的“对整数”,当n∈[1,100]时,则“对整数”的个数为多少个?
做好说明原因...

Answer 1

首先想到对数换底公式：最好选以10为底
f(n)=log(n+1)(底数）(n+2)（真数）=lg(n+2)/ lg(n+1)
然后带入把已知条件化简k=lg(n+2)/lg2 即 以2为底的n+2的对数,就只需看1到100以内有多少数满足为2的整数幂（注意有个+2）
我们知道 2的6次方是64 2的7次方是128 （超过100的程度大于2）,这时,陷阱来了 ,k与n的问题k与n都是正整数,所以都不能等于0.k=1时,n=0 不符合题意.
k=2,3,4,5,6,这五个数保证n不超过一百.此时n分别等于2,6,14,30,62