1.设r（a1,a2...as）=r,证明：如果a1,a2...as中的每个向量都可由其中r个向量a1,a2,...ar线性表示,则则a1,a2...ar是原向量组的一个极大无关组.2.设向量组a1,a2,...as的秩是r,证明：a1,a2,...as中任何含r个向

Question

1.设r（a1,a2...as）=r,证明：如果a1,a2...as中的每个向量都可由其中r个向量a1,a2,...ar线性 表示,则
则a1,a2...ar是原向量组的一个极大无关组.
2.设向量组a1,a2,...as的秩是r,证明：a1,a2,...as中任何含r个向量的部分组,如果线性无关,都是其极大无关组.

Answer 1

两个小题都设向量组a1,a2,...as的秩是r,你可以去看一下向量组秩的定义：
设有向量组A,如果
1）在A中有r个向量a1,a2,.,ar线性无关.
2）A中任意r+1个向量都线性相关.
那么称a1,a2,.ar是向量组A的一个极大无关组,称r为向量组A的秩.
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你的第（1）小题：a1,a2...as中的每个向量都可由其中r个向量a1,a2,...ar线性表示,说明任意r+1个向量都是线性相关了.此时如果a1,a2...ar不是原向量组的一个极大无关组,除非a1,a2...ar是线性相关的,那么它其中的一个向量就能被另外的r-1个线性表示了,这就等于说a1,a2...as中的每个向量都可由这r-1个向量线性表示了,也就等于说任意r个向量都线性相关了,这样的话,向量组a1,a2,...as的秩至少是小于r了,与条件矛盾.
你的第（2）小题：用反证法.如果a1,a2,...as中有一组线性无关的r个向量的部分组,它不是a1,a2,...as的极大无关组,这就等于说能至少找到一个r+1个线性无关的部分向量组.这样与“向量组a1,a2,...as的秩是r”矛盾.
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