设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式；（2）是否存在正整数m，使得a1，am，a40成等比数列？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式；
（2）是否存在正整数m，使得a₁，a_m，a₄₀成等比数列？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅+a₁₃=34，S₃=9．
∴

a5+a13＝34

3a2＝9

，…（2分）
即

a1+8d＝17

a1+d＝3

，
得：a₁=1，d=2，…．（4分）
故a_n=2n-1，Sn＝n2，…（6分）
（2）要使a₁，a_m，a₄₀成等比数列，
必须am2＝a1a40，
即（2m-1）²=1×（2×40-1）=79，…..（9分）
因为79不是完全平方数，故方程（2m-1）²=79无正整数解，
因此不存在正整数m，
使得a₁，a_m，a₄₀成等比数列…．（12分）