设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=32，S3=92．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log26a2n+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn=n2+105成立的n的值．

Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=(3)/(2)，S₃=(9)/(2)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂(6)/(a2n+1)，T_n为数列{b_n}的前n项和，求使T_n=(n)/(2)+105成立的n的值．

Answer 1

（Ⅰ）当q=1时，a1=a3=(3)/(2)，S3=(3)/(2)成立；
当q≠1时，Sn=(a1(1-qn))/(1-q)，an=a1qn-1，由a3=(3)/(2)，S3=(9)/(2)．
解得a₁=6，q=-(1)/(2)，则
an=6•(-(1)/(2))n-1
综上可知：an=(3)/(2)或an=6•(-(1)/(2))n-1．
（Ⅱ）当an=(3)/(2)时，b_n=2则T_n=2n；
2n=(n)/(2)+105
则n=70
当bn=log2(6)/(a2n+1)=log2(6)/(6(-(1)/(2))2n)=log222n=2n，
∴Tn=n2+n，
∴n2+n=(n)/(2)+105整理得：n²+n-210=0；
解得n=10
综上可知n=10或n=70．