设等差数列{an}的首项为1，其前n项和为Sn，{bn}是公比为正整数的等比数列，其首项为3，前n项和为Tn．若a3+b3=17，T3-S3=12．（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an+23bn}的前n项和Mn．

Question

设等差数列{a_n}的首项为1，其前n项和为S_n，{b_n}是公比为正整数的等比数列，其首项为3，前n项和为T_n．若a₃+b₃=17，T₃-S₃=12．
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+(2)/(3)b_n}的前n项和M_n．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q
由已知

1+2d+3q2＝17

3(1+q+q2)−(3+3d)＝12

解方程可得q=2，d=2
∴a_n=2n-1，bn＝3•2 n−1
（2）an+(2)/(3)bn=2n-1+2ⁿ
∴T_n=1+2¹+3+2²+…+2n-1+2ⁿ
=（1+3+5+…+2n-1）+（2+2²+…+2ⁿ）
=(n(1+2n−1))/(2)+(2(1−2n))/(1−2)
=n²+2ⁿ⁺¹-2