已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，S3=39．（1）求数列{an}通项公式；（2）若在an与an+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证：1d1+1d2+…+1dn＜58．

Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，S₃=39．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若在a_n与a_n+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，求证：(1)/(d1)+(1)/(d2)+…+(1)/(dn)＜(5)/(8)．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=3，S₃=39，∴q≠1，(3(1−q3))/(1−q)＝39，
∴1+q+q²=13．∴q=3，或q=-4（舍），
故an＝3n．…（6分）
（Ⅱ）∵an＝3n，则an+1＝3n+1，由题知：
a_n+1=a_n+（n+1）d_n，则dn＝(2×3n)/(n+1)．
由上知：(1)/(dn)＝(n+1)/(2×3n)，
所以Tn＝(1)/(d1)+(1)/(d2)+…+(1)/(dn)=(2)/(2×3)+(3)/(2×32)+…+(n+1)/(2×3n)，
(1)/(3)Tn＝(2)/(2×32)+(3)/(2×33)+…+(n+1)/(2×3n+1)，
所以(2)/(3)Tn＝(1)/(3)+(1)/(2)((1)/(32)+(1)/(33)+…+(1)/(3n))-(n+1)/(2×3n+1)
=(1)/(3)+(1)/(2)×((1)/(9)[1−((1)/(3))n−1])/(1−(1)/(3))-(n+1)/(2×3n+1)
=(5)/(12)−(5+2n)/(4×3n+1)，
所以Tn＝(5)/(8)−(5+2n)/(8×3n)＜(5)/(8)．
故(1)/(d1)+(1)/(d2)+…+(1)/(dn)＜(5)/(8)．…（12分）