已知单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=2，S3=7．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log2an+1（n∈N*），数列{1bnbn+1}的前n项和Tn，求证Tn＜34．

Question

已知单调递增的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₃=7．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1（n∈N^*），数列{(1)/(bnbn+1)}的前n项和T_n，求证T_n＜(3)/(4)．

Answer 1

（I）设首项为a₁，公比为q，
由条件可得a₁q=2，a₁+a₁q+a₁q²=7
∵q＞1，
∴q=2，a₁=1，∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）证明：∵b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，
∴(1)/(bnbn+1)=(1)/(n(n+1))=(1)/(n)-(1)/(n+1)
∴T_n=1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+…+(1)/(n)-(1)/(n+1)=1-(1)/(n+1)≥1-(1)/(2)＞(3)/(4)．