已知{an}为单调递增的等比数列,且a2+a5=18,a3•a4=32,{bn}是首项为2,公差为d的等差数列,其前n项和为Sn.（1）求数列{an}的通项公式.（2）当且仅当2≤n≤4,n∈N﹡,Sn≥4+d•log2(an²)成立,求d的

Question

已知{an}为单调递增的等比数列,且a2+a5=18,a3•a4=32,{bn}是首项为2,公差为d的等差数列,
其前n项和为Sn.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）当且仅当2≤n≤4,n∈N﹡,Sn≥4+d•log2(an²)成立,求d的取值范围.

Answer 1

∵an是等比数列
∴a3×a4=a2×a5=32.
结合a2+a5=18,an单调递增,
解得a2=2,a5=16.
所以an=2^（n-1）
bn=2+d（n-1）
Sn=[2+2+d（n-1）]n/2=2n+d（n-1）n/2
∴Sn≥4+d•log2(an²)即2n+d（n-1）n/2≥4+d（2n-2）亦即d（-n+1）（n-4）≤4n-8
令n=2,3,4代入得,d≤0
另一方面,n=1以及n≥5不能使之成立.
所以当n≥5时,d≥（4n-8）/(n-4)(-n+1)恒成立
由于（4n-8）/(n-4)(-n+1)在n趋于正无穷时取最大值,趋于0,所以d≥0
综上,d=0