如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（8，0），B点的坐标为（0，6），动点P以2/秒的速度从点B出发，沿BA向点A移动，同时动点Q以1/秒的速度从点A出发，沿AO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0

Question

如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（8，0），B点的坐标为（0，6），动点P以2/秒的速度从点B出发，沿BA向点A移动，同时动点Q以1/秒的速度从点A出发，沿AO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）．
（1）求AB的长；
（2）若四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，求t的值；
（3）在P、Q两点移动的过程中，能否使△APQ与△AOB相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知得，OA=8，OB=6（1分）
在Rt△ABO中，∠O=90°，由勾股定理得，
AB＝√(OA2+OB2)＝√(82+62)＝10（3分）

（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t
过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO
∴(AP)/(AB)＝(PC)/(OB)

∴(10−2t)/(10)＝(PC)/(6)
解得，PC=(3)/(5)(10−2t)（4分）
∵四边形BPQO的面积：△APQ的面积的比=17：3
∴S△APC＝(3)/(20)S△AOB（5分）
∴(1)/(2)t×(3)/(5)(10−2t)＝(3)/(20)×(1)/(2)×6×8
解得，t₁=2，t₂=3（7分）

（3）若△APQ与△AOB相似，则有以下2种情况：
①∠AQP=90°
∴(AP)/(AB)＝(AQ)/(AO)＝(10−2t)/(10)＝(t)/(8)（8分）
解得，t＝(40)/(13)（9分）
此时，PQ=(3)/(5)(10−2t)＝(30)/(13)，OQ=8−t＝(64)/(13)
∴P((64)/(13)，(30)/(13))（10分）
②∠APQ=90°
过P作PD⊥OA于D
∴(AP)/(AO)＝(AQ)/(AB)
(10−2t)/(8)＝(t)/(10)
解得，t＝

作业帮用户 2016-12-10

问题解析

（1）根据勾股定理可求得AB的长；
（2）由已知得，BP=2t，AQ=t，AP=10-2t，过P作PC⊥OA于C，易得，△APC∽△ABO，由对应线段成比例求得PC=

(3)/(5)(10−2t)；再由四边形BPQO的面积与△APQ的面积的比为17：3，得出S△APC＝(3)/(20)S△AOB，由三角形的面积公式求解；
（3）若△APQ与△AOB相似，则要考虑以下2种情况：①∠AQP=90°，②∠APQ=90°．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评：

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角形的面积计算、点的坐标等知识点，要注意第三问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．

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