（2010•台州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于

Question

（2010•台州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

Answer 1

（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
∴∠HDQ=∠A，
∴△DHQ∽△ABC．

（2）①如图1，当0＜x≤2.5时，
ED=10-4x，QH=AQtanA=(3)/(4)x，
此时y=(1)/(2)（10-4x）×(3)/(4)x=-(3)/(2)x2+(15)/(4)x，
当x=(5)/(4)时，最大值y=(75)/(32)，
②如图2，当2.5＜x≤5时，
ED=4x-10，QH=AQtanA=(3)/(4)x，
此时y=(1)/(2)（4x-10）×(3)/(4)x=(3)/(2)x2-(15)/(4)x=(3)/(2)（x-(5)/(4)）²-(75)/(32)．
当2.5＜x≤5时，y有最大值，
当x=5时，最大值为y=(75)/(4)，
∴y与x之间的函数解析式为y=

−(3)/(2)x2+(15)/(4)x(0＜x≤2.5) 

(3)/(2)x2−(15)/(4)x (2.5＜x≤5)

，
则当2.5＜x≤5时，y有最大值，其最大值是y=(75)/(4)．
综上可得，y的最大值为

作业帮用户 2017-10-03

问题解析

（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；
（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得最大值；
（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．

名师点评

本题考点：

二次函数的最值；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

考点点评：

本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情况探讨三角形为等腰三角形的条件．

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