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如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ,点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQ⊥AB于Q,交AC于

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如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ,点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQ⊥AB于Q,交AC于点H,当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动,设BP的长为x,△HDE的面积为y。
(1)求证:△DHQ∽△ABC;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;
(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?
▼优质解答
答案和解析
(1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,
∴∠HQD=∠C=90°,HD=HA,
∴∠HDQ=∠A,
∴△DHQ∽△ABC,
(2)①如图1,当 时, ED=10-4x,QH=
此时
时,最大值
②如图2,当 时, ED=4x-10,QH=
此时
当x=5时,最大值
∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是

(3)①如图1,当 时,若DE=DH,
∵DH=AH= , DE=

显然ED=EH,HD=HE不可能;
②如图2,当 时,若DE=DH,
若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,x=5;
若ED=EH,则△EDH∽△HDA,

∴当x的值为 时,△HDE是等腰三角形。