如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ，点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于

题目详情

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ，点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y。
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

▼优质解答

答案和解析

（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB， ∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA， ∴∠HDQ=∠A， ∴△DHQ∽△ABC，
（2）①如图1，当时， ED=10-4x，QH= ，此时，当时，最大值， ②如图2，当时， ED=4x-10，QH= ，此时当x=5时，最大值， ∴y与x之间的函数解析式为， y的最大值是；
（3）①如图1，当时，若DE=DH， ∵DH=AH= ， DE= ， ∴ ，显然ED=EH，HD=HE不可能； ②如图2，当时，若DE=DH，，；若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；若ED=EH，则△EDH∽△HDA， ∴ ，， ∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形。