△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B.C重合),△ADE是以AD为边

Question

△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B.C重合),△ADE是以AD为边

Answer 1

⑴
∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB＝AC,AE＝AD,∠DAE＝∠BAC＝60°
∴∠DAE－∠BAD＝∠BAC－∠BAD
即∠BAE＝∠CAD
∴△AEB≌△ADC(SAS)
四边形BCEF是平行四边形,理由如下：
由上得：△AEB≌△ADC
∴∠ABE＝∠C＝60°
又∠BAC＝∠C＝60°
∴∠ABE＝∠BAC
∴BE∥CF
又EF∥BC
∴四边形BCEF是平行四边形
⑵
⑴中的结论仍成立,理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB＝AC,AE＝AD,∠BAC＝∠DAE＝60°
∴∠BAC－∠EAF＝∠DAE－∠EAF
即∠BAE＝∠DAC
∴△AEB≌△ADC(SAS)
四边形BCEF是平行四边形
由△AEB≌△ADC得：
∠ABE＝∠ACD
而∠ACD＝180°－∠ACB＝120°
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝60°＋∠CBE＝120°
∴∠CBE＝60°
∵∠DCF＝∠ACB＝60°(对顶角相等)
∴∠DCF＝∠CBE
∴CF∥BE
又BC∥EF
∴四边形BCEF是平行四边形
⑶
当CD＝CB时,四边形BCEF是菱形,理由如下：
由△AEB≌△ADC得：
BE＝CD
又CD＝CB
∴BE＝CB
由上知：四边形BCEF是平行四边形
∴四边形BCEF是菱形