已知椭圆M：x24+y23=1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．（Ⅰ）求M的离心率及短轴长；（Ⅱ）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的

Question

已知椭圆M：(x2)/(4)+(y2)/(3)=1，点F₁，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F₁的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．
（Ⅰ）求M的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由(x2)/(4)+(y2)/(3)=1，得：a=2，b=√(3)，
∴椭圆M的短轴长为2√(3)，
∴c=√(a2-b2)=1，
∴e=(c)/(a)=(1)/(2)，即M的离心率为(1)/(2)；
（Ⅱ）结论：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．
理由如下：
由题意知：C（-2，0），F₁（-1，0），
设B（x₀，y₀）（-2<x₀<2），则(x20)/(4)+(y20)/(3)=1．
∵

BF1

•

BC

=(-1-x0，-y0)•(-2-x0，-y0)
=2+3x0+

x

2 0

+

y

2 0

=(1)/(4)

x

2 0

+3x0+5>0，
∴cos∠F₁BC>0，
∴∠F₁BC为锐角，即∠B∈(0，(π)/(2))，
∴点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．