以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．设e1和e2分别为双曲线和它的共轭双曲线的离心率，给出下列结论：①e12+e22=e12e22②e12+e22≥4③e12+e22＜e12e22④e12+e22＞

Question

以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．设e₁和e₂分别为双曲线和它的共轭双曲线的离心率，给出下列结论：①e₁²+e₂²=e₁²e₂²②e₁²+e₂²≥4③e₁²+e₂²＜e₁²e₂²④e₁²+e₂²＞e₁²e₂²．其中正确结论的序号是______．（请写出所有正确结论的序号）

Answer 1

根据题意，可得
设互为共轭的两个双曲线方程分别为(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1和(y2)/(b2)-(x2)/(a2)=1，（a、b都是正数）
则它们的离心率满足e₁²=(a2+b2)/(a2)，e₂²=(a2+b2)/(b2)
∴(1)/(e12)+(1)/(e22)=(a2)/(a2+b2)+(b2)/(a2+b2)=(a2+b2)/(a2+b2)=1，化简得e₁²+e₂²=e₁²e₂²；
根据e₁、e₂都是大于1的正数，得e₁²e₂²=e₁²+e₂²≥2e₁e₂，
两边约去e₁e₂，得e₁e₂≥2，
因此e₁²+e₂²=e₁²e₂²≥4，当且仅当e₁=e₂=√(2)时等号成立．
综上所述，可得①②两式成立，而③④两式都与①矛盾而不正确
故答案为：①②