已知F是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，（1）若△ABE是锐角三角形，求该双曲线的离心率e的取值范围；（2

Question

已知F是双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，
（1）若△ABE是锐角三角形，求该双曲线的离心率e的取值范围；
（2）若E（1，0），e=√(3)，过圆O：x²+y²=2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于M，N两点，试判断：∠MON的大小是否为定值？并说明理由．

Answer 1

（1）根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=(b2)/(a)=(c2−a2)/(a)，|EF|=a+c，
∴(c2−a2)/(a)＜a+c，即2a²+ac-c²＞0
两边都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．
（2）∵E（1，0），e=√(3)，
∴

a＝1

(c)/(a)＝√(3)

，∴b=√(3−1)=√(2)，
∴双曲线方程为x²-(y2)/(2)=1．
设直线MN的方程为y=kx+b，
联立

y＝kx+b

x2−(y2)/(2)＝1

，得（2-k²）x²-2kbx-（b²+2）=0，
由直线l与双曲线交于M，N点，
故2-k²≠0，△＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2＝(2kb)/(2−k2)，x1x2＝(−(b2+2))/(2−k2)，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=(−k2b2−2k2)/(2−k2)+(2k2b2)/(2−k2)+(2b2−k2b2)/(2−k2)
=(2b2−2k2)/(2−k2)，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=(−b2−2)/(2−k2)+(2b2−2k2)/(2−k2)
=(b2−2(1+k2))/(2−k2)，
∵b²=2（1+k²），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

OM

⊥

ON

，∴∠MON=90°为定值．