已知F是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）

Question

已知F是双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点E在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）
A. （1，+∞）
B. （1，2）
C. （1，1+√(2)）
D. （2，+∞）

Answer 1

由题意，直线AB方程为：x=-c，其中c=√(a2+b2)
因此，设A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴(c2)/(a2)-(y02)/(b2)=1，解之y₀=(b2)/(a)，得|AF|=(b2)/(a)，
∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内部
∴|EF|＜|AF|，即a+c＜(b2)/(a)，
将b²=c²-a²，并化简整理，得2a²+ac-c²＜0
两边都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2（舍负）
故选：D．