四边形abcd内接于圆o若有一圆圆心在AB上,且与其余三边相切,求证AD+BC=AB四边形ABCD内接于圆O,若有一圆圆心在AB上,且与其余三边相切,求证AD+BC=AB图传不了,

Question

四边形abcd内接于圆o若有一圆圆心在AB上,且与其余三边相切,求证AD+BC=AB
四边形ABCD内接于圆O,若有一圆圆心在AB上,且与其余三边相切,求证AD+BC=AB
图传不了,

Answer 1

设AB上的圆心为P
在AB上取一点M,使MB=BC,连接MC,MD,PD,PC
等腰△CMB中,∠CMB=∠MCB
∴∠CMB
=(1/2)(∠MCB+∠CMB)
=(1/2)(180°-∠B)
=(1/2)∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°）
=∠PDC （设圆P切AD于E,切DC于F,有PE=PF,Rt△PDE和Rt△PDF中,一对儿直角边相等,且斜边是公共的,∴两Rt△全等,可得PD平分∠CDA）
∴M,P,C,D四点共圆
∴∠AMD=∠DCP=(1/2)∠DCB （同理,可证PC平分∠DCB）
=(1/2)（180°-∠A） （ABCD的另一对儿对角和为180°）
=(1/2)（∠ADM+∠AMD）
∠AMD=∠ADM
∴AD=AM
∴AD+BC=AM+MB=AB