设D为一有界闭区域，f（x，y）在D上连续，在D内可偏导，且满足∂f∂x+2∂f∂y=-f（x，y），若f（x，y）在D的边界上恒为零，则f（x，y）在D上（）A．存在非零的最大值B．存在非零的最小

Question

设D为一有界闭区域，f（x，y）在D上连续，在D内可偏导，且满足(∂f)/(∂x)+2(∂f)/(∂y)=-f（x，y），若f（x，y）在D的边界上恒为零，则f（x，y）在D上（　　）

A．存在非零的最大值
B．存在非零的最小值
C．只在边界上取到最大和最小值
D．能在边界上取到最大和最小值

Answer 1

选项A错误．
假设函数存在非零的最大值M，注意到函数f（x，y）在D的边界上恒为零，故f（x，y）的非零最大值只能在区域D内部的某一点P取到，即：f（P）=M＞0．
利用函数在内部取得最值的条件可得，点P为f（x，y）的一个极大值点，从而，
(∂f)/(∂x)|P＝(∂f)/(∂y)|p＝0．
又因为(∂f)/(∂x)+2(∂f)/(∂y)=-f（x，y），
所以f（P）=0，与f（P）=M＞0矛盾，
故函数不存在非零的最大值．
选项B错误．类似于A进行分析与证明即可．
选项C错误，选项D正确．
由选项A、B的分析可得，函数不存在非零最大值与非零最小值，从而函数只能为0．
从而，函数f（x，y）≡0，
其最大值可以再内部取得，也可以在边界上取得．
故选：D．