定义在D上的函数y=f(x),若存在x0∈D,对任意的x∈D,都有f(x)≥f(x0)或f(x)≤f(x0)成立,则称函数f(x)在区间D上有上界或下界.若把“上界”减去“下界”的差称为的差称为函数f(x)在D上的幅度M,试求函

Question

定义在D上的函数y=f(x),若存在x0∈D,对任意的x∈D,都有f(x)≥f(x0)或f(x)≤f(x0)成立,
则称函数f(x)在区间D上有上界或下界.若把“上界”减去“下界”的差称为的差称为函数f(x)在D上的幅度M,试求函数f(x)=x|x-2a|+3在[1,2]上的幅度M.

Answer 1

(1)当2a<1即a<1/2,x>2a
y=x^2-2ax+3
对称轴x=a
x>a,y单增
M=f(2)-f(1)=3-2a (a<1/2)
(2)
当2a>2,即a>1,x<2a
y=-x^2+2ax+3
对称轴x=a
xM=f(2)-f(1)=2a-3 (a>1)
(2)
当1≤2a≤2,即1/2≤a≤1
f(1)=2a+2
f(2)=7-4a,
f(1)>f(2)
最小值f(a)=a^2+3
M=f(1)-f(a)=a2-2a+1