设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函

Question

设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．
①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．
如果函数f（x）=√(2x+1)+k为闭函数，则k的取值范围是

（-1，(1)/(2)]

（-1，(1)/(2)]

．

Answer 1

若函数f（x）=√(2x+1)+k为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即

a＝√(2a+1)+k

b＝√(2b+1)+k

，
∴a，b是方程x=√(2x+1)+k的两个实数根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥−(1)/(2)，x≥k）的两个不相等的实数根，
当k≤−(1)/(2)时，

△＝[−(2k+2)]2−4(k2−1)＞0

f(−(1)/(2))＝(1)/(4)+(1)/(2)(2k+2)+k2−1≥0

(2k+2)/(2)＞−(1)/(2)

解得，-1＜k≤−(1)/(2)；
当k＞-(1)/(2)时，

△＝[−(2k+2)]2−4(k2−1)＞0

f(k)＝k2−(2k+2)•k+k2−1＞0

(2k+2)/(2)＞k

解得k无解．
综上，可得-1＜k≤−(1)/(2)．
故答案为：（-1，-(1)/(2)]