(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥1+a1+a2+…+an这个不等式的证明中(1+a1)(1+a2)…(1+ak)＞1怎么来的要知道前提条件是an＞-1还请多多赐教

Question

(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥1+a1+a2+…+an这个不等式的证明中(1+a1)(1+a2)…(1+ak)＞1怎么来的 要知道前提条件是an＞-1 还请多多赐教

Answer 1

这也算是伯努利不等式 (1+a1)(1+a2)…(1+ak)＞1并不是总成立的 条件是 所有an>-1,且所有an都同号 数学归纳法证明 证明:(1)n=2,(1+a1)(1+a2)=1+a1+a2+a1a2>1+a1+a2 (2)假设n=k时成立,(1+a1)(1+a2).....(1+ak)>1+a1+a2+…+ak (1+a1)(1+a2).....(1+ak)(1+a(k+1))>(1+a1+a2+…+ak)(1+a(k+1))------这是n=2时,利用(1)的证明 >1+a1+a2+…+ak+a(k+1) 所以不等式对于任意的n成立 当所有an=x,(1+x)^n>1+nx,x>-1