求解数学题(二项式定理):设数列A0,A1,A2,...满足A0与A1不相等,A(i-1)+A(i+1)=2Ai(i=1,2,3,...).证明:...求解数学题(二项式定理):设数列A0,A1,A2,...满足A0与A1不相等,A(i-1)+A(i+1)=2Ai(i=1,2,3,...).证明:对任意的正

Question

求解数学题(二项式定理):设数列A0,A1,A2,...满足A0与A1不相等,A(i-1)+A(i+1)=2Ai (i=1,2,3,...).证明:...
求解数学题(二项式定理):设数列A0,A1,A2,...满足A0与A1不相等,A(i-1)+A(i+1)=2Ai (i=1,2,3,...).证明:对任意的正整数n,p(x)=A0*C(n,0)*(1-x)^n +A1*C(n,1)*x*(1-x)^(n-1)+A2*C(n,2)*x^2*(1-x)^(n-2)...+An*C(n,n)*x^n是关于x的一次式?(C(n,n)为组合数)

Answer 1

p'(x)=(A1-A0)[C(n,1)(1-x)^(n-1)]+(A2-A1)[2c(n,2)x(1-x)^(n-2)]+...+(An-A(n-1))[nc(n,n)x^(n-1)]
由A(i-1)+A(i+1)=2Ai (i=1,2,3,...).可以得到：A1-A0=A2-A1=.
p'(x)=(A1-A0)[C(n,1)(1-x)^(n-1)+2c(n,2)x(1-x)^(n-2)+...+nc(n,n)x^(n-1)]
由于：C(n,1)(1-x)^(n-1)+2c(n,2)x(1-x)^(n-2)+...+nc(n,n)x^(n-1)]=n
所以：p'(x)=(A1-A0)[C(n,1)(1-x)^(n-1)+2c(n,2)x(1-x)^(n-2)+...+nc(n,n)x^(n-1)]=n(A1-A0)
所以p(x)是关于x的一次式.