已知二次函数y=x2–kx+k–1（k＞2）.（1）求证：抛物线y=x2–kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点;（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,若,求抛物线的表达式;（

Question

已知二次函数y=x ² –kx+k–1（k＞2）.

（1）求证：抛物线y=x ² –kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点;
（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,若 ,求抛物线的表达式;
（3）以（2）中的抛物线上一点P（m,n）为圆心,1为半径作圆,直接写出：当m取何值时,x轴与 相离、相切、相交.

Answer 1

（1）证明见解析;
（2）抛物线的表达式为 ;
（3）当 或 时,x轴与 相离.
当 或 或 时,x轴与 相切.
当 或 时,x轴与 相交．

试题分析：（1）要证明二次函数的图象与x轴都有两个交点,证明二次函数的判别式是正数即可解决问题;
（2）根据函数解析式求出A、B、C点坐标,再由 ,求出函数解析式;
（3）先求出当 或 或 时,x轴与 相切,再写出相离与相交．
试题解析：（1）∵ ,
又∵ ,
∴ .
∴ 即 .
∴抛物线y=x ² –kx+k-1与x轴必有两个交点;
(2)∵抛物线y=x ² –kx+k-1与x轴交于A、B两点,
∴令 ,有 .
解得： .
∵ ,点A在点B的左侧,
∴ .
∵抛物线与y轴交于点C,
∴ .
∵在Rt 中, ,
∴ ,解得 .
∴抛物线的表达式为 ;
（3）当 或 时,x轴与 相离.
当 或 或 时,x轴与 相切.
当 或 时,x轴与 相交．