设D=[0，1]×[0，1]，f（x，y）是D上的连续函数，证明满足∬Df（x，y）dxdy=f（ξ，η）的（ξ，η）点有无穷多个．

Question

设D=[0，1]×[0，1]，f（x，y）是D上的连续函数，证明满足

∬

D

f（x，y）dxdy=f（ξ，η）的（ξ，η）点有无穷多个．

Answer 1

证明：设 m=min{f（x，y）：（x，y）∈D}=f（x₁，y₁），M=max{f（x，y）：（x，y）∈D}=f（x₂，y₂）．
那么我们有m≤

∬

D

f(x，y)dxdy≤M，m≤f（x，y）≤M，（x，y）∈D，
下面分两种情况讨论：
（1）若m＝

∬

D

f(x，y)dxdy或

∬

D

f(x，y)dxdy＝M有一个成立时，
当m＝

∬

D

f(x，y)dxdy，我们有

∬

D

(f(x，y)−m)dxdy＝0，而f（x，y）-m≥0，
从而有f（x，y）-m=0，（x，y）∈D，
从而f（x，y）=m为常数，此时结论显然成立；
当

∬

D

f(x，y)dxdy＝M时，我们有

∬

D

(M−f(x，y))dxdy＝0，而M-f（x，y）≥0，
从而f（x，y）=M为常数，此时结论显然成立；
（2）m＜

∬

D

f(x，y)dxdy＜M
我们可以选取无穷多条连接（x₁，y₁）和（x₂，y₂）的不相交的连续曲线
x=x（t），y=y（t），t₁≤t≤t₂，（x（t），y（t））∈D；
显然F（t）=f（x（t），y（t））连续，
F（t₁）=f（x₁，y₁），F（t₂）=f（x₂，y₂），
由连续函数的介值定理，存在τ∈（t₁，t₂），（x（τ），y（τ））=（ξ，η），使得
F(τ)＝

∬

D

f(x，y)dxdy，
即f(ξ，η)＝

∬

D

f(x，y)dxdy，结论得证．