已知定义在R上的函数f(x)满足条件：1、对任意x、y都有F(x)+F(y)-F(X+Y)=12、对所有非零实数x,都有F(x)=xF(1/x)3、且正数数列{An}满足A1=1,1/((A(n+1))平方)=F(1/(（An）平方))求证：1、F(x)+F(-x)=22、数列{An}

Question

已知定义在R上的函数f(x)满足条件：
1、对任意x、y都有F(x)+F(y)-F(X+Y)=1
2、对所有非零实数x,都有F(x)=xF(1/x)
3、且正数数列{An}满足A1=1 ,1/((A (n+1))平方)=F(1/(（An）平方))
求证：
1、F(x)+F(-x)=2
2、数列{An}前n项和为Sn,求证：Sn > 2((根号(n+1))-1)

Answer 1

1、
根据F(x)+F(y)-F(X+Y)=1得出：
F(0)+F(0)-F(0+0)=1推出F(0)=1.1
F(x)+F(-x)-F【x+（-x)】=1推出：F(x)+F(-x)-F(0)=1.2
1代入2有：F(x)+F(-x)=2
2.
根据F(x)=xF(1/x).3
得出：F(-x)= -xF(-1/x).4
又根据：F(x)+F(-x)=2
得出：F(-x)=2-F(x),F(-1/x)= 2-F(1/x).5
5代入4有：2-F(x)=-x【2-F(1/x)】.6
3-6有：2【F(x)-1】=2x
于是：F(x)=x+1
于是：F(1/(（An）平方))=1/（An)² +1
1/((A (n+1))平方)=F(1/(（An）平方))=1/（An)² +1
可见：{1/（An）²}是等差数列,1/A1²=1,d=1
于是：1/（An）²=n
An=1/√n
于是：Sn=1+1/√2+1/√3+.+1/√n
证Sn > 2((根号(n+1))-1)
即证：1+1/√2+1/√3+.+1/√n >2【√（n+1） -1】
下面用数学归纳法证,你应该会吧,这个过程我就不写了.