已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，32）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（�已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，32）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C

Question

已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，32）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（�
已知F₁，F₂为椭圆E的左右焦点，点P（1，(3)/(2)）为其上一点，且有|PF₁|+|PF₂|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过F₂与l₁平行的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S_ABCD的最大值．

Answer 1

（I）设椭圆E的标准方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，(a＞b＞0)，
由已知|PF₁|+|PF₂|=4，得2a=4，∴a=2，…（2分）
又点P（1，(3)/(2)）在椭圆上，∴(1)/(4)+(9)/(4b2)=1，∴b=√(3)，
椭圆E的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．…（5分）
（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，
∴S_△ABCD=4S_△OAB，
设直线AB的方程为x=my-1，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my-1

(x2)/(4)+(y2)/(3)=1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=(6m)/(3m2+4)，y₁y₂=-(9)/(3m2+4)，…（6分）
S_△OAB=S△OF1A+SOF1B=(1)/(2)|OF₁||y₁-y₂|=(1)/(2)|y1-y2|
=(1)/(2)