已知圆M：x2+（y-2）2=1，直线l：y=-1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）定点A（4，2），B，C为E上的两个动点，若直线AB与直线AC垂直，求证

Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，直线l：y=-1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）定点A（4，2），B，C为E上的两个动点，若直线AB与直线AC垂直，求证：直线BC恒过定点．

Answer 1

（Ⅰ）由题意动圆P与直线y=-1相切，且与定圆M：x²+（y-2）²=1外切，
所以动点P到M（0，2）的距离与到直线y=-2的距离相等，
由抛物线的定义知，点P的轨迹是以C（0，2）为焦点，直线y=-2为准线的抛物线，
故所求P的轨迹方程为：x²=8y．           …（4分）
（Ⅱ）证明：设直线BC：y=kx+b，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
将直线BC代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，
所以x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8b，…（6分）
又因为

AB

=（x₁-4，y₁-2），

AC

=（x₂-4，y₂-2），
所以

AB

•

AC

=（x₁-4，y₁-2）•（x₂-4，y₂-2）=（k²+1）x₁x₂+[k（b-2）-4]（x₁+x₂）+（b-2）²+16=0
所以-8b（k²+1）x+8k[k（b-2）-4]+（b-2）²+16=0
所以（b-6）²-16（k+1）²=0…（8分）
所以b=4k+10或b=-4k+2           …（10分）
所以恒过定点（-4，10）．                         …（12分）