中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过C（2，2），且CF1•CF2＝2．（1）求椭圆E的方程．（2）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P

Question

中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过C（2，2），且

CF1

•

CF2

＝2．
（1）求椭圆E的方程．
（2）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer 1

（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则

CF1

＝(2+c，2)，

CF2

＝(2−c，2)，
∵

CF1

•

CF2

＝2，∴4-c²+4=2，
∴c²=6．
设椭圆E的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(a2−6)＝1，
把C（2，2）代入，得(4)/(a2)+(4)/(a2−6)＝1，
整理，得a⁴-14a²+24=0，
解得a²=12，或a²=2（舍）
∴椭圆E的方程为(x2)/(12)+(y2)/(6)＝1．
（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，
由√(作业帮用户2017-09-20举报问题解析（1）设F1（-c，0），F2（c，0），则CF1＝(2+c，2)，CF2＝(2−c，2)，由CF1•CF2＝2，知4-c2+4=2，即c2=6．由此能求出椭圆E的方程．（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，由(x2)/(12)+(y2)/(6)＝1y＝−x+m，得3x2-4mx+2m2-12=0，记A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝(4m)/(3)，x1•x2＝(2m2−12)/(3)，圆P的圆心为（(x1+x2)/(2)，(y1+y2)/(2)），半径r=(√(2))/(2)|x1−x2|=(√(2))/(2)√((x1+x2)2−4x1x2)，当圆P与y轴相切时，r=|(x1+x2)/(2)|，由此能求出直线l的方程和圆P的方程．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．考点点评：本题考查直线方程、圆的方程和椭圆方程的求法，具体涉及到直线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆和圆的简单性质等基本知识．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)