如图，已知O（0，0），E（-3，0），F（3，0），圆F：（x-3）2+y2=5．动点P满足|PE|+|PF|=4．以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）证明：点Q到直线PF

题目详情

如图，已知O（0，0），E（-

，0），F（

，0），圆F：（x-

）²+y²=5．动点P满足|PE|+|PF|=4．以P为圆心，|OP|为半径的圆P与圆F的一个公共点为Q．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）证明：点Q到直线PF的距离为定值，并求此值．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）∵|PE|+|PF|=4＞|EF|，
∴根据椭圆定义知，点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆．
设P（x，y），则点P的轨迹方程为

+y²=1． …（6分）
（Ⅱ）证明：设圆P与圆F的另一个公共点为T，并设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
则由题意知，圆P的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+y₀²．
又Q为圆P与圆F的一个公共点，故

(x1−

)2+

＝5，

(x1−x0)2+(y1−y0)2＝

所以（x₀-

）x₁+y₀ y₁-1=0．
同理（x₀-

）x₂+y₀ y₂-1=0．
因此直线QT的方程为（x₀-

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