设总体X的均值EX=μ，方差DX=σ2均存在，（X1，X2，…，Xn）为取自总体X的一个简单随机样本，.X为样本均值，证明Xi-.X与Xj-.X的相关系数ρ=-1n-1，i≠j，i，j=1，2，…，n．

Question

设总体X的均值EX=μ，方差DX=σ²均存在，（X₁，X₂，…，X_n）为取自总体X的一个简单随机样本，

.

X

为样本均值，证明X_i-

.

X

与X_j-

.

X

的相关系数ρ=-(1)/(n-1)，i≠j，i，j=1，2，…，n．

Answer 1

证明：由题意得E（X²）=μ²+σ²
E(Xj-

.

X

)=E(Xi-

.

X

)=0，
E((Xi-

.

X

)(Xj-

.

X

))=-(σ2)/(n)
VAR(Xi-

.

X

)=VAR(Xj-

.

X

)=VAR(X)+VAR(

.

X

)-2COV(X，

.

X

)=(n-1)/(n)σ2
COV（Xi-

.

X

，Xj-

.

X

）=-(σ2)/(n)
则相关系数ρ_XY=(cov(X，Y))/(√(var(X)var(Y)))=(-(σ2)/(n))/((n-1)/(n)σ2)=-(1)/(n-1)
则原命题成立．