已知x1,x2,x3,……,x50只在-1,0,1三个数中取值.若x1+x2+x3+……+x50=19,且(x1+1)^2+(x2+1)^2+……+(x1+1)^2+(x2+1)^2+……+(x50+1)^2=108,则x1,x2,……,x50中取值为0的数共有多少个?

Question

已知x1,x2,x3,……,x50只在-1,0,1三个数中取值.若x1+x2+x3+……+x50=19,且(x1+1)^2+(x2+1)^2+……+
(x1+1)^2+(x2+1)^2+……+(x50+1)^2=108,则x1,x2,……,x50中取值为0的数共有多少个?

Answer 1

（x₁+1）²+（x₂+1）²+（x₃+1）²+.(x50+1)²
= X1² + X2² + …… + X50² + 2(X1 + X2 + …… + X50) + 1 + 1 + …… + 1
= X1² + X2² + …… + X50² + 2×9 + 50 = 107
得
X1² + X2² + …… + X50² = 107 - 50- 18 = 39
因（±1）² = 1,0² = 0,可知,
X1² + X2² + …… + X50² 中有39个±1,其余为0.
因此0的个数 = 50 - 39 = 11