1.fx=x分之1+lnx,若对任意x1x2,当x1>x2≥e时恒有|fx1-fx2|≥k|x1分之一-x2分之一|,求k取值2.是否存在m,n（m＜n),当x∈m,n]时,fx值域恰为m,n?若存在给出证明,若不存在说明理由

Question

1.fx=x分之1+lnx,若对任意x1x2,当x1>x2≥e时恒有|fx1-fx2|≥k|x1分之一-x2分之一|,求k取值
2.是否存在m,n（m＜n),当x∈【m,n]时,fx值域恰为【m,n】?若存在给出证明,若不存在说明理由

Answer 1

1)设g(x)=x+In(1/x)
题1即证对任意x1x2,当x1,x2都在定义域（0,1/e]上时恒有|gx1-gx2|≥k|x1-x2|
即|(gx1-gx2)/(x1-x2)|≥k
说白了就是这一段定义域上的函数g(x)图像任意两点间的斜率绝对值都要大于k
g‘(x)=1+x*（-1/x^2)=1-1/x 在定义域上递减
g'‘(x)=1/x^2其值恒大于0意味着函数是凹函数且g‘(x)在x=1/e处取得最大值1-e,绝对值在此处取最 小值e-1
定义域内g(x)上任意两点连线后将其平移后都可以找到一个与函数图像相切的位置,即
所有这些连线的斜率都可以在g'(x)内找到
所以有|(gx1-gx2)/(x1-x2)|>e-1恒成立,这里x1不等于x2所以不取等号
因而有k