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已知定理:“实数m,n为常数,若函数h(x)满足h(m+x)+h(m-x)=2n,则函数y=h(x)的图象关于点(m,n)成中心对称”.(Ⅰ)已知函数f(x)=x2x-1的图象关于点(1,b)成中心对称,求实
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已知定理:“实数m,n为常数,若函数h(x)满足h(m+x)+h(m-x)=2n,则函数y=h(x)的图象关于点(m,n)成中心对称”.
(Ⅰ)已知函数f(x)=
的图象关于点(1,b)成中心对称,求实数b的值;
(Ⅱ)已知函数g(x)满足g(2+x)+g(-x)=4,当x∈[0,2]时,都有g(x)≤3成立,且当x∈[0,1]时,g(x)=2k(x-1)+1,求实数k的取值范围.
(Ⅰ)已知函数f(x)=
x2 |
x-1 |
(Ⅱ)已知函数g(x)满足g(2+x)+g(-x)=4,当x∈[0,2]时,都有g(x)≤3成立,且当x∈[0,1]时,g(x)=2k(x-1)+1,求实数k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)函数f(x)=
的图象关于点(1,b)成中心对称,
可得f(1+x)+f(1-x)=2b,
即有
+
=4=2b,
解得b=2;
(Ⅱ)由g(2+x)+g(-x)=4可得g(x)的图象关于点(1,2)对称,
且g(1)=2,
当k=0时,g(x)=2(0≤x≤1),又g(x)关于(1,2)对称,
可得g(x)=2(0≤x≤2),显然g(x)≤3恒成立;
当k>0时,g(x)=2k(x-1)+1在[0,1]递增,又g(x)关于点(1,2)对称,
可得g(x)在[0,2]递增,g(x)≤3,只需g(x)max=g(2)≤3,
又g(2)+g(0)=4,则g(0)≥1即21-k≥1,
即有0≤k≤1;
当k<0时,g(x)=2k(x-1)+1在[0,1]递减,又g(x)关于(1,2)对称,
可得g(x)在[0,2]递减,要使g(x)≤3,只需g(x)max=g(0)≤3,
即21-k≤3,解得1-log23≤k<0.
综上可得,1-log23≤k≤1.
x2 |
x-1 |
可得f(1+x)+f(1-x)=2b,
即有
(x+1)2 |
x |
(1-x)2 |
-x |
解得b=2;
(Ⅱ)由g(2+x)+g(-x)=4可得g(x)的图象关于点(1,2)对称,
且g(1)=2,
当k=0时,g(x)=2(0≤x≤1),又g(x)关于(1,2)对称,
可得g(x)=2(0≤x≤2),显然g(x)≤3恒成立;
当k>0时,g(x)=2k(x-1)+1在[0,1]递增,又g(x)关于点(1,2)对称,
可得g(x)在[0,2]递增,g(x)≤3,只需g(x)max=g(2)≤3,
又g(2)+g(0)=4,则g(0)≥1即21-k≥1,
即有0≤k≤1;
当k<0时,g(x)=2k(x-1)+1在[0,1]递减,又g(x)关于(1,2)对称,
可得g(x)在[0,2]递减,要使g(x)≤3,只需g(x)max=g(0)≤3,
即21-k≤3,解得1-log23≤k<0.
综上可得,1-log23≤k≤1.
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