设数列{an}的前n项和Sn=12n2+12n，数列{bn}满足bn=anan+m（m∈N*），（1）若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；（2）是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差数列？

Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=(1)/(2)n²+(1)/(2)n，数列{b_n}满足b_n=(an)/(an+m)（m∈N^*），
（1）若b₁，b₂，b₈成等比数列，试求m的值；
（2）是否存在m，使得数列{b_n}中存在某项b_t满足b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由S_n=(1)/(2)n²+(1)/(2)n得S_n-1=(1)/(2)（n-1）²+(1)/(2)（n-1），
两式相减得a_n=n，当n=1也成立，故a_n=n，则b_n=(an)/(an+m)=(n)/(n+m)，
∵b₁，b₂，b₈成等比数列，∴

b

2 2

=b₁b₈，得((2)/(2+m))2＝(1)/(1+m)•(8)/(8+m)，
解得m=1．
（2）若b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，
则2b₄=b₁+b_t，
即(2×4)/(4+m)＝(1)/(1+m)+(t)/(t+m)
解得t=(7m+4)/(m−2)＝7+(18)/(m−2)，
∵t∈N^*，t≥5，
∴m-2=1，2，3，6，9，18，
即m=3，4，5，8，11，20共6个．