n为小于2012的正整数,m为整数,试求n的最大值.若2^n/3+3^n/4-5^n/12=m,且n为小于2012的正整数,m为整数,试求n的最大值.

Question

n为小于2012的正整数,m为整数,试求n的最大值.
若2^n/3+3^n/4-5^n/12=m,且n为小于2012的正整数,m为整数,试求n的最大值.

Answer 1

最大的N可为2011
2^n/3+3^n/4-5^n/12=m
2^(N+2)/12 + 3^(N+1)/12 - 5^n/12 = [ 2^(N+2) + 3^(N+1) - 5^n ] / 12 = M
因为
2的3次幂开始,对12的余数有：
8、4、8、4……
3的2次幂开始,对12的余数有：
9、3、9、3……
5的1次幂开始,对12的余数有：
5、1、5、1……
显然,能使3个余数的运算被12整除的情况仅有8、9、5时：8+9-5=12
因此按周期,最大的N可为2011
【此时 2^(N+2) + 3^(N+1) - 5^n = 2^2013 + 3^2012 - 5^2011 各项余数正分别为8、9、5.】