函数极限与数列极限的关系对于极限在x0的函数,若同有趋于x0的数列xn,可以证明f(xn)的极限与f(x)是相同的；则对于x趋近于正无穷有极限的函数,同有趋于无穷的数列xn,此时可否断定f(xn)的极限

Question

函数极限与数列极限的关系
对于极限在x0的函数,若同有趋于x0的数列xn,可以证明f(xn)的极限与f(x)是相同的；则对于x趋近于正无穷有极限的函数,同有趋于无穷的数列xn,此时可否断定f(xn)的极限与f(x)相同呢?

Answer 1

第一个不一定相同,看x0取值；第二个相同.
数列的极限可以看做是函数f(x)当自变量取正整数n,并趋于正无穷大时的极限,解决方案如下：
解决方案1：
f(x)=1/x
an=1/n
数列an的极限,当n→∞时,lim(n→∞)=lim(n→∞)1/n=0
函数f(x)的极限,当x→∞时,lin(x→∞)f(x)=lin(x→∞)1/x=0
就是说函数f(x)当自变量x取正整数n时,并且x趋于正无穷大时的极限与an的极限是一样的.
通过对数据库的索引,我们还为您准备了：
数列的极限可以看做是函数f(x)当自变量取正整数n,...
问：这句话怎么理解?
答：f(x)=1/x an=1/n 数列an的极限,当n→∞时,lim(n→∞)=lim(n→∞)1/n=0 函数f(x)的极限,当x→∞时,lin(x→∞)f(x)=lin(x→∞)1/x=0 就是说函数f(x)当自变量x取正整数n时,并且x趋于正无穷大时的极限与an的极限是一样的.

在利用函数极限求数列极限时,有定理“若f(x)在x趋...
问：在利用函数极限求数列极限时,有定理“若f(x)在x趋于a时的极限是A,则对...
答：注意定理内容是“Xn在n趋于无穷时的极限是a”,也就是说在n趋于无穷时,Xn的极限是a,而不是Xn趋于无穷. 这里的n是数列的项数,X1、X2、X3...Xn,因此只能是正无穷.