设函数f（x）=lnx+mx，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；（2）若函数g（x）=f′（x）-x3存在唯一零点，求m的范围．

Question

设函数f（x）=lnx+(m)/(x)，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；
（2）若函数g（x）=f′（x）-(x)/(3)存在唯一零点，求m的范围．

Answer 1

解　（1）由题设，当m=e时，f（x）=ln x+(e)/(x)，
则f′（x）=(x-e)/(x2)，由f′（x）=0，得x=e．
∴当x∈（0，e），f′（x）<0，f（x）在（0，e）上单调递减，
当x∈（e，+∞），f′（x）>0，f（x）在（e，+∞）上单调递增，
∴当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=ln e+(e)/(e)=2，
∴f（x）的极小值为2…（4分）
（2）由题设g（x）=f′（x）-(x)/(3)=(1)/(x)-(m)/(x2)-(x)/(3)（x>0），
令g（x）=0，得m=-(1)/(3)x³+x（x>0）．
设φ（x）=-(1)/(3)x³+x（x≥0），
则φ′=-x²+1=-（x-1）（x+1），
当x∈（0，1）时，φ′（x）>0，φ（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）<0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点．
∴φ（x）的最大值为φ（1）=(2)/(3)．
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象（如图），

可知
当m=(2)/(3)时，函数g（x）有且只有一个零点；
当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点．
所以，当m=(2)/(3)或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；…（12分）