已知函数f（x）=ex-x-1（e是自然对数的底数）．（1）求证：ex≥x+1；（2）若不等式f（x）>ax-1在x∈[12，2]上恒成立，求正数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x-x-1（e是自然对数的底数）．
（1）求证：e^x≥x+1；
（2）若不等式f（x）>ax-1在x∈[(1)/(2)，2]上恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分）
证明：（1）由题意知，要证e^x≥x+1，只需证f（x）=e^x-x-1≥0，
求导得f′（x）=e^x-1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）=e^x-1>0，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）=e^x-1<0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）是增函数，在x∈（-∞，0）时是减函数，
即f（x）在x=0时取最小值f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，即f（x）=e^x-x-1≥0，
∴e^x≥x+1．…（6分）
（2）不等式f（x）>ax-1在x∈[(1)/(2)，2]上恒成立，即e^x-x-1>ax-1在x∈[(1)/(2)，2]上恒成立，
亦即a<(ex-x)/(x)在x∈[(1)/(2)，2]上恒成立，令g（x）=(ex-x)/(x)，x∈[(1)/(2)，2]，
以下求g（x）=(ex-x)/(x)在x∈[(1)/(2)，2]上的最小值，
g′(x)=(ex(x-1))/(x2)，当x∈[(1)/(2)，1]时，g′（x）<0，
当x∈[(1)/(2)，1]时，g′（x）>0，
∴当x∈[(1)/(2)，1]时，g（x）单调递减，当x∈[(1)/(2)，1]时，g（x）单调递增，
∴g（x）在x=1处取得最小值为g（1）=e-1，
∴正数a的取值范围是（0，e-1）．…（12分）