高中数学~高手进.难题!已知f(x)=ax/(ax+b)且不等式|f(x)|>2的解集为(-2,-2/3).1.求f(x)的解析式2.设数列{an}满足:a1=f(2005)+f(1/2005),a(n+1)=f(an)(n属于正整数),求an；3.设bn=nf(1/an),Tn=1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn,求数列{a

Question

高中数学~高手进.难题!
已知f(x)=ax/(ax+b)且不等式|f(x)|>2的解集为(-2,-2/3).
1.求f(x)的解析式
2.设数列{an}满足:a1=f(2005)+f(1/2005),a(n+1)=f(an)(n属于正整数),求an；
3.设bn=nf(1/an),Tn=1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn,求数列{an}的前n项和为Sn,求证:Tn＜Sn+2.
题中例如a(n+1)的n+1为下标

Answer 1

解,(1) f(x)=ax/(ax+b),由于|f(x)|>2,且a≠0,整理可得,
(x+2b/3a)(x+2b/a)=0,它的解集为(-2,-2/3)
可以得到,a=b,a=b=0(舍去)
f(x)=ax/(ax+a)=x/(x+1).
(2) f(1/x)=1/(x+1),所以,f(1)+f(1/x)=1,故,a1=f(2005)+f(1/2005)=1,
f(an)=an/(an+1)=a(n+1),
所以,1/a(n+1)=(an+1)/an=1/an+1,
也即是,1/a(n+1)-1/an=1,所以1/an是以1/a1为首相,公差为1的等差数列,
因此,1/an=n,那么,an=1/n
(3) bn=nf(1/an),那么,bn=n²/(n+1),1/bn=(n+1)/n²=1/n+1/n²
Sn=1+1/2+1/3+……+1/n
Tn=(1+1/2+1/3+……+1/n)+(1+1/2²+1/3²+……+1/n²)
由于,当n≥2时,1/n²