已知函数f（x）=lnx+ax+1，a为常数．（1）若a=92，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（e为自然对数的底数，e≈2.72）（2）若函数g（x）=f（x）+x在[1，2]上为单调减函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lnx+(a)/(x+1)，a为常数．
（1）若a=(9)/(2)，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（e为自然对数的底数，e≈2.72）
（2）若函数g（x）=f（x）+x在[1，2]上为单调减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意f′(x)＝(1)/(x)−(a)/((x+1)2)，
当a＝(9)/(2)时，f′(x)＝(1)/(x)−((9)/(2))/((x+1)2)＝((x−2)(2x−1))/(2x(x+1)2)，
∵x∈[1，e]，∴f（x）在[1，2）上为减函数，[2，e]上为增函数，
又f(2)＝ln2+(3)/(2)，f(1)＝(9)/(4)，f(e)＝1+(9)/(2e+2)，比较可得f（1）＞f（e），
∴f（x）的值域为[ln2+(3)/(2)，(9)/(4)]；
（2）由题意得g′(x)＝(1)/(x)−(a)/((x+1)2)+1≤0在x∈[1，2]恒成立，
∴a≥((x+1)2)/(x)+(x+1)2＝x2+3x+(1)/(x)+3恒成立，
设h(x)＝x2+3x+(1)/(x)+3(1≤x≤2)，
则当1≤x≤2时h′(x)＝2x+3−(1)/(x2)＞0恒成立，h（x）递增，
∴h(x)max＝h(2)＝(27)/(2)，
∴a≥(27)/(2)，即实数a的取值范围是[(27)/(2)，+∞)．