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已知函数f(x)=lnx+ax+1,a为常数.(1)若a=92,求函数f(x)在[1,e]上的值域;(e为自然对数的底数,e≈2.72)(2)若函数g(x)=f(x)+x在[1,2]上为单调减函数,求实数a的取值范围.

题目详情
已知函数f(x)=lnx+
a
x+1
,a为常数.
(1)若a=
9
2
,求函数f(x)在[1,e]上的值域;(e为自然对数的底数,e≈2.72)
(2)若函数g(x)=f(x)+x在[1,2]上为单调减函数,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意f′(x)=
1
x
a
(x+1)2

a=
9
2
时,f′(x)=
1
x
9
2
(x+1)2
(x−2)(2x−1)
2x(x+1)2

∵x∈[1,e],∴f(x)在[1,2)上为减函数,[2,e]上为增函数,
f(2)=ln2+
3
2
,f(1)=
9
4
,f(e)=1+
9
2e+2
,比较可得f(1)>f(e),
∴f(x)的值域为[ln2+
3
2
9
4
];
(2)由题意得g′(x)=
1
x
a
(x+1)2
+1≤0在x∈[1,2]恒成立,
a≥
(x+1)2
x
+(x+1)2=x2+3x+
1
x
+3恒成立,
h(x)=x2+3x+
1
x
+3(1≤x≤2),
则当1≤x≤2时h′(x)=2x+3−
1
x2
>0恒成立,h(x)递增,
h(x)max=h(2)=
27
2

a≥
27
2
,即实数a的取值范围是[
27
2
,+∞).
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